Noções de Programação Linear

As equações e inequações lineares, bem como os sistemas de equações e inequações simultâneas, são muito úteis em problemas de economia, transporte, dieta, administração, etc. Estas inequações, geralmente expressando condições subsidiárias, vão determinar uma região do plano onde devemos procurar a solução do problema, que de maneira geral será do tipo máximo ou mínimo.

Problema de Dieta

Dois produtos P e Q contêm as vitaminas A, B e C nas quantidades indicadas no quadro ao lado. A última coluna indica a quantidade mínima necessária de cada vitamina para uma alimentação sadia, e a última linha o preço de cada produto por unidade.

Que quantidade de cada produto uma dieta deve conter para que proporcione uma alimentação sadia com o mínimo de custo?

Diante desse problema de Programação Linear, considere a seguinte orientação para resolvê-lo:

1. Estabelecemos a função objetivo, isto é, a função que queremos maximizar ou minimizar.

2. Transformamos as restrições impostas no problema em um sistema de inequações lineares

3. Construímos o gráfico do polígono convexo correspondente a essas restrições determinadas as coordenadas dos seus vértices

4. Calculamos os valores da função objetivo em cada um dos vértices

5. O maior desses valores é o máximo e o menor é o mínimo da função objetivo

6. Voltamos ao problema e damos a sua solução

Seja x a quantidade do produto P e y a quantidade do produto Q nas condições do problema.

1. Função objetivo:
O custo é dado por C = 3x + 2y, o qual queremos minimizar.

2. Restrições:
As condições impostas pelo problema são:



3. Gráfico



Nesse caso, a região de possibilidades é a parte do plano limitada pelas retas:



Os vértices são dados pelas soluções dos sistemas:



4. Valores que a função objetivo assume nos vértices:



5. Conclusão:
A dieta ótima, que é sadia e tem custo mínimo, consiste em consumir 2 unidades do produto P e 6 unidades produto Q.


“A questão primordial não é o que sabemos, mas como o sabemos.”
Aristóteles

Textos-adaptados:

DANTE, Matemática, volume único. Ed. Ática
D’AMBROSIO, Introdução ao Cálculo, Ed. Nacional
Link: Wikipédia

Um grande abraço.
Prof. Ricardo Vianna