Geometria Analítica aplicada à Geometria Plana

Um engenheiro precisa construir uma ponte em forma de arco de circunferência, conforme o projeto do arquiteto mostrado abaixo. O vão livre sobre o rio a ser vencido pela ponte é de 24 m, e a pilastra central, segundo o arquiteto, deverá ter 4 m de altura.

O engenheiro, usando seus conhecimentos de Geometria Plana, já calculou que o raio do arco de circunferência projetado pelo arquiteto é de 20 m. (Tente descobrir você mesmo)

Agora ele precisa calcular o tamanho das outras quatro pilastras menores ( duas à esquerda e duas à direita da pilastra central ). Segundo o projeto, todas as pilastras estão a 4 m uma da outra.



Com base nas informações do problema, vamos escolher um sistema de eixos coordenados conveniente e obter a altura dessas quatro pilastras menores.

Escolhendo um sistema de eixos cartesianos que coloque a pilastra central no eixo y e o vão da ponte no eixo x, temos que o centro da circunferência será C ( 0, -16 ) pois o raio tem 20 m e a pilastra maior tem 4 m. para obter o tamanho das pilastras pedidas, precisamos apenas das ordenadas dos pontos A e B, cujas abscissas são respectivamente 4 e 8. Neste exercício, a escolha do sistema de eixos cartesiano adequado é muito importante para facilitar a resolução.



A equação da circunferência é, então:



Para obtermos a ordenada y do ponto A, basta substituirmos a abscissa x = 4 na equação da circunferência:



Da mesma forma, para obtermos a ordenada y do ponto B, basta substituirmos a abscissa x = 8 na equação da circunferência:



Por causa da simetria da ponte, as duas pilastras do lado esquerdo terão o mesmo tamanho de suas correspondentes no lado direito. Assim, as pilastras são tais que duas têm, aproximadamente, 2,33 m e duas têm 3,60 m, e a central, como já sabíamos, tem 4 m.

Um grande abraço.
Prof. Ricardo Vianna

Fonte: DANTE, Volume Único.