Equações. Parte I

1. Introdução

No caso de equações, é costume chamar as variáveis de incógnitas e os valores que satisfazem as equações, de raízes. Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes.

2. Propriedades da Igualdade



Esta propriedade nos diz que podemos somar ( ou subtrair ) um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obtendo uma sentença equivalente. É com base nesta propriedade que podemos “passar” um termo de “um lado para outro” de uma igualdade, desde que troquemos seu sinal.

Exemplo

Considere a equação:

x + 5 = 7

De acordo com esta propriedade, podemos multiplicar ( ou dividir ) ambos os membros de uma igualdade por um número diferente de zero, obtendo uma sentença equivalente.

Exemplo.

Considere a equação:

3x = 12

Vamos dividir os dois membros por 3, obtendo:



Exemplo

Observe que a implicação:



3. Equações do primeiro Grau com uma Incógnita

“Equação do primeiro grau com uma incógnita” é uma equação que pode ser reduzida à forma:



onde:

x é a incógnita
a e b são constantes denominadas coeficientes
b é o termo independente

A determinação do conjunto-verdade de uma equação do primeiro grau é feita através da aplicação direta das propriedades anteriores vistas acima.

Exemplos

Resolva as equações:



Resolução



Como a sentença “0 = 0” é verdadeira para qualquer valor de x ( isto é, é independente de x ), a equação fornecida será satisfeita para qualquer valor de x. Portanto, o conjunto-verdade é igual ao universo:

Como a sentença “0 = 22” é falsa ( é falsa para qualquer valor de x ), então a equação fornecida não será satisfeita para nenhum valor de x. Podemos dizer que a equação não tem solução:

4. Propriedades



Comentário:
Essa terceira propriedade é praticamente desconhecida da maioria dos alunos.

Exemplos



Resolução

Muitos alunos iniciariam aplicando a Propriedade Distributiva e cairiam em uma equação do 2° grau. Um tratamento diferente seria a aplicação da propriedade 3.





Nesse caso, muitos alunos simplesmente ignorariam o denominador, uma vez que a fração está igualada a zero. A justificativa seria que ao “passarmos” o denominador para o outro lado e multiplicando por 0 o resultado seria 0. Veja a propriedade 2 caso você tenha essa dúvida.

Como



A raiz de 5x + 20 = 0 é -4. Porém esse valor não satisfaz a condição e, portanto o conjunto-verdade da equação dada é:



Continuem estudando.
Boa leitura.



Prof. Ricardo Vianna

Fonte:

• ANTAR, Aref. Conjuntos e Funções, Noções de Matemática, volume 1. Ed. Moderna, 1979.